解：$(1)$由题意，得$m=-1×4=-4$，∴反比例函数的表达式为$y=-\frac {4}{x}$
又点$B(a$，$-1)$在反比例函数的图像上，∴$a=4$，即点$B$的坐标为$(4$，$-1)$
由题意，把$A(-1$，$4)$，$B(4$，$-1)$两点的坐标分别代入$y=kx+b$中
得$\begin {cases}{-k+b=4}\\{ 4k+b=-1}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k=-1}\\{b=3}\end {cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-x+3$
$(2)$∵$BQ//AP$，$BQ=AP$，∴四边形$ABQP $是平行四边形
∴$AB//PQ$，$AB= PQ$
则线段$PQ $可看作由线段$AB$沿$AP $方向平移得到
∵点$P $的坐标为$(n$，$0)$，点$A$的坐标为$(-1$，$4)$，$n＜-1$
∴点$A$向下平移$4$个单位长度，再向左平移$(-1-n)$个单位长度得到点$P$
由$(1)$得反比例函数的表达式为$y=-\frac {4}{x}$，点$B$的坐标为$(4$，$-1)$
∴点$Q $的坐标为$(5+n$，$-5)$
∴$(5+n)×(-5)=-4$，解得$n=-\frac {21}{5}$，∴$n$的值为$-\frac {21}{5}$
