解：$(1)$过点$G $作$GA⊥x$轴于点$A$，则$∠OAG= 90°$
∵四边形$OBCD$是矩形，点$C$的坐标为$(4$，$2 \sqrt {2})$
∴$CD=OB=4$，$BC=OD=2\sqrt {2}$，$∠BOD=∠ODC=90° $
由旋转的性质得$∠EOG=∠BOD=90°$，$OG=OD=2 \sqrt {2}$，$OE=OB=4$
在$Rt△ODE$中，由勾股定理，得$DE=\sqrt {OE²-OD²}=2\sqrt {2}$
∴点$E$的坐标为$(2 \sqrt {2}$，$2\sqrt {2})$
∴易得直线$OE$的函数表达式为$y=x$
∵$FG//OE$，∴可设直线$FG $的函数表达式为$y=x+a$
∵$OD=DE$，∴$∠DOE=∠DEO=\frac {1}{2}(180°-∠ODC)=45°$
∵$∠AOD=90°$，∴$∠AOG+∠DOG=90°$
∵$∠DOE+ ∠DOG = 90°$，∴$∠AOG =∠DOE=45°$
∴$∠AGO=90°-∠AOG=45°$，即$∠AOG=∠AGO$
∴$AG=OA$，∴$OG=\sqrt {AG²+OA²}= \sqrt {2}\ \mathrm {OA}$
∴$\sqrt {2}\ \mathrm {OA}=2\sqrt {2}$，即$AG=OA=2$
∵点$G $在第二象限，∴点$G $的坐标为$(-2$，$2)$
把点$G(-2$，$2)$的坐标代入$y=x+a$中，得$-2+a=2$，解得$a=4$
∴直线$FG $的函数表达式为$y=x+4$
$(2)$连接$OC$，$OF$，过点$M$作$MN⊥OE$于点$N$，则$∠MNH=90°$
∵四边形$OEFG $是矩形，∴$∠OEF=∠EFG=90°$
∴四边形$EFMN$是矩形，即$MN=EF$
∵$C$，$E$，$F $三点在同一$ $条直线上，∴$OE⊥CF$
∵$OC=OF$，∴$CE=EF$，∴$MN=CE$
∵$∠CEH=180°-∠OEF=90°$，∴$∠MNH=∠CEH$
∵$∠MHN=∠CHE$，∴$△MNH≌△CEH(\mathrm {AAS})$
∴$MH=CH$，即$EH$为$△CFM$的中位线，∴$EH=\frac {1}{2}\ \mathrm {FM}$
∵$BC=EF$，∴$BC=CE$
∵$BC⊥OB$，$CE⊥OE$，∴$OC$平分$∠BOE$，∴$∠BOC=∠EOC$
∵$OB//CD$，∴$∠BOC = ∠OCD$，即$ ∠EOC =∠OCD$，∴$OH=CH$
设$OH=CH=b$，∵$OE=4$，∴$EH=OE-OH=4-b$
∵$CE²+EH²=CH²$，$CE=BC=2 \sqrt {2}$
∴$(2 \sqrt {2})²+(4-b)²=b²$，解得$b=3$
∴$EH=1$，∴$FM=2EH=2$
∵$FG=CD=4$，∴$MG=FG-FM=2$
$(3)$存在，当$PE⊥OB$时，点$B$到直线$PE$的距离最大，且最大值为$4+\frac {4\sqrt {6}}{3}$
