$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是矩形，∴$AB=DC$，$∠B=∠C=90°$
∵$BE=CF$，∴$BE+EF=CF+EF$，∴$BF=CE$
∴$△ABF≌△DCE(\mathrm {SAS})$，∴$AF=DE$，$∠AFB=∠DEC$
∴$OF=OE$，∴$AF-OF=DE-OE$
∴$OA=OD$，∴$△AOD$是等腰三角形
$(2)$解：∵$AF⊥DE$，∴$∠AOD=∠EOF= 90°$
∵$OF=\frac {1}{3}OA=1$，∴$OA=3$，∴$AF=OA+OF=4$
由$(1)$，得$OA=OD$，$OE=OF$，∴$OD=OA=3$
∴$∠OEF=∠OFE=\frac {1}{2}(180°-∠EOF)=45°$
在$Rt△OAD$中，由勾股定理，得$AD= \sqrt {OA²+OD²}=3 \sqrt {2}$
∵$∠B=90°$，∴$∠BAF=90°-∠OFE=45°$，∴$∠OFE=∠BAF$
∴$AB=BF$，∴$AF=\sqrt {AB²+BF²}= \sqrt {2}\ \mathrm {AB}$，∴$AB=2 \sqrt {2}$
∴$C_{矩形ABCD}=2(AB+AD)=10 \sqrt {2}$
∴矩形$ABCD$的周长为$10\sqrt {2}$
