解：$(1)$过点$A$作$AD⊥x$轴于点$D$，则$∠ADO=90°$
∵点$A$的坐标为$(-1$，$2)$，∴$OD=1$，$AD=2$
由旋转的性质得$BO=OA$，$∠AOB=90°$
∴$∠AOD+∠BOC=180°-∠AOB=90°$
∵$BC⊥x$轴，∴$∠OCB=90°$
∴$∠OCB=∠ADO$，$∠OBC+∠BOC=90°$
∴$∠OBC=∠AOD$，∴$△OBC≌△AOD(\mathrm {AAS})$
∴$BC=OD=1$，$OC=AD=2$，∴点$B$的坐标为$(2$，$1)$
把$B(2$，$1)$代入$y=\frac {k}x$中，得$1=\frac {k}{2}$，解得$k=2$
∴反比例函数的表达式为$y=\frac {2}{x}$
$(2)①$∵$m=2$，∴$n=\frac {2}{m}=1$
∴点$P $的坐标为$(2$，$1)$，点$G $的坐标为$(-2$，$-1)$，点$Q $的坐标为$(1$，$3)$
设直线$AG $的函数表达式为$y=k_{1}x+b_{1}$
∵点$A$的坐标为$(-1$，$2)$
∴$\begin {cases}{-k_{1}+b_{1}=2}\\{-2k_{1}+b_{1}=-1}\end {cases}$，解得$ \begin {cases}{k_{1}=3}\\{b_{1}=5}\end {cases}$
∴直线$AG $的函数表达式为$y=3x+5$
设直线$PQ $的函数表达式为$ y=k_{2}x+b_{2}$
则$\begin {cases}{2k_{2}+b_{2}=1}\\{k_{2}+b_{2}=3}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k_{2}=-2}\\{b_{2}=5}\end {cases}$
∴直线$PQ $的函数表达式为$y=-2x+5$
联立方程组，得$\begin {cases}{y=3x+5}\\{y=-2x+5}\end {cases}$，$ $解得$\begin {cases}{x=0}\\{y=5}\end {cases}$
∴点$H$的坐标为$(0$，$5)$
$②(a+2)(b-4)$是定值
过点$Q $作直线$l_{1}//y$轴，过点$P $作直线$l_{2}//x$轴，$l_{1}$，$l_{2}$相交于点$E$
则$∠DOG=∠EPG$，$∠QEP=90°$
∵点$Q $的坐标为$(m-1$，$n+2)$，点$P $的坐标为$(m$，$n)$
∴$QE=2$，$PE=1$
由$(1)$得$AD=2$，$OD=1$，∴$QE=AD$，$PE=OD$
∵$∠QEP=∠ADO=90°$，∴$△QEP≌△ADO(\mathrm {SAS})$
∴$AO=QP$，$∠AOD=∠QPE$
∴$∠AOD+∠DOG=∠QPE+∠EPG$，即$∠AOG =∠QPG$
∴$AO//HP$
∵$O$为$GP $的中点，∴$AO$为$△GPH$的中位线，∴$AO=\frac {1}{2}\ \mathrm {HP}$
∵$HP=HQ+QP$，∴$HQ=QP=AO$，∴$Q $为$HP $的中点
∴当点$H(a$，$b)$向右移动$2$个单位长度，向下移动$4$个单位长度时，点$H$与点$P $重合
即点$(a+2$，$b-4)$在双曲线$y=\frac {2}{x}$上
∴$(a+2)(b-4)=2$
