解：$(1)$连接$DF$
∵四边形$ABCD$是正方形
∴$AB=AD=CD=BC$，$∠A=∠BCD=∠ADC=∠B=90°$
∴$∠DCF=180°-∠BCD=90°$，即$∠A=∠DCF$
∵$CF=AE$，∴$△CDF≌△ADE(\mathrm {SAS})$
∴$DF=DE$，$∠CDF=∠ADE$
∴$∠EDF=∠CDF+∠CDE=∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°$
∴$∠DEF=∠DFE=\frac {1}{2}(180°-∠EDF)=45°$
$(2)$由$(1)$得$AB=CD$，$DE=DF$，$DH⊥EF$
∴$∠DHN=∠FHM=90°$，$EH=FH$
∵$∠EDF=90°$，∴$DH=FH=\frac {1}{2}\ \mathrm {EF}$
∵$∠BCD=90°$，∴$∠HDN+∠FMH=90°$
∵$∠HDN+∠DNH =90°$，∴$∠DNH =∠FMH$
∴$△DNH≌△FMH(\mathrm {AAS})$，∴$DN=FM$
设$CF=AE=a$
∵$BE=4$，∴$CD=AB=AE+BE=a+4$
∵$CN=1$，∴$FM=DN=CD-CN=a+3$
∴$CM=FM-CF=3$
证明：$(3)$连接$EM$
由$(1)(2)$得$AB=AD=CD=BC$，$DN=FM$，$EH=FH$，$∠B=90°$
设$CM=m$，$CF=AE=n$
∵$M$是$BC$的中点
∴$BM=CM=m$，$AB=CD=BC=2CM=2m$
∴$BE=AB-AE=2m-n$，$DN=FM=CM+CF=m+n$
∴$CN=CD-DN=m-n$
∵$EH=FH$，$DM⊥EF$
∴$DM$垂直平分$EF$，∴$EM=FM=m+n$
在$Rt△BEM$中，由勾股定理，
得$BE²+BM²=EM²$，即$(2m-n)²+m²=(m+n)²$
整理，得$2m²=3mn$
∵$m≠0$，∴$2m=3n$
∴$DN-CN=2n$，$BE=2n$，即$DN-CN=BE$
