解:$(2)$存在
对于$y=\frac {1}{2}x-\frac {5}{2}$,令$x=3$,得$y= \frac {1}{2}×3-\frac {5}{2}=-1$
∴点$C$的坐标为$(3$,$-1)$
∵$CD//y$轴
∴$∠OHD=90°$,点$D$的横坐标为$3$,点$H$的坐标为$(3$,$0)$,即$OH=3$
对于$y=\frac {12}{x}$,令$x=3$,得$y=4$
∴点$D$的坐标为$(3$,$4)$,即$DH=4$
在$Rt△DOH$中,由勾股定理,得$OD= \sqrt {OH^2+DH^2}=5$
假设存在满足题意的点$E$,则点$E$在线段$DH$上
设点$E$的坐标为$(3$,$a)$,则$EH=a$,∴$DE=DH-EH=4-a$
过点$E$作$EF⊥OD$于点$F$,连接$OE$,则$EF=EH=a$
∴$S_{△ODE}=\frac {1}{2}OD · EF=\frac {5}{2}a$
∵$S_{△ODE}=\frac {1}{2}DE · OH=6-\frac {3}{2}a$
∴$\frac {5}{2}a=6-\frac {3}{2}a$,解得$a=\frac {3}{2}$
则存在符合题意的点$E$,且点$E$的坐标为$(3$,$\frac {3}{2})$
$(3)①$连接$OO'$
由平移的性质,得$OO'//AB.$
∴射线$OO'$的函数表达式为$y=\frac {1}{2}x(x≥ 0)$
联立方程组得$\begin {cases}{y=\frac {1}{2}x}\\{y=\frac {12}x}\end {cases}$,解得$\begin {cases}{x=2\sqrt 6}\\{y=\sqrt 6}\end {cases}$
∴点$O'$的坐标为$(2\sqrt 6$,$\sqrt 6 )$
由$(2)$得点$D$的坐标为$(3$,$4)$
∴点$D'$的坐标为$(3+2\sqrt 6$,$4+\sqrt 6)$
$②$点$O'$的坐标为$(2$,$1)$或$(\sqrt {10}$,$ \frac {\sqrt {10}}{2})$或$(5$,$\frac {5}{2})$