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​$y=\frac {1}{2}x-\frac {5}{2}$​
​$y=\frac {12}{x}(x>0)$​

解:​$(2)$​存在
对于​$y=\frac {1}{2}x-\frac {5}{2}$​,令​$x=3$​,得​$y= \frac {1}{2}×3-\frac {5}{2}=-1$​
∴点​$C$​的坐标为​$(3$​,​$-1)$​
∵​$CD//y$​轴
∴​$∠OHD=90°$​,点​$D$​的横坐标为​$3$​,点​$H$​的坐标为​$(3$​,​$0)$​,即​$OH=3$​
对于​$y=\frac {12}{x}$​,令​$x=3$​,得​$y=4$​
∴点​$D$​的坐标为​$(3$​,​$4)$​,即​$DH=4$​
在​$Rt△DOH$​中,由勾股定理,得​$OD= \sqrt {OH^2+DH^2}=5$​
假设存在满足题意的点​$E$​,则点​$E$​在线段​$DH$​上
设点​$E$​的坐标为​$(3$​,​$a)$​,则​$EH=a$​,∴​$DE=DH-EH=4-a$​
过点​$E$​作​$EF⊥OD$​于点​$F$​,连接​$OE$​,则​$EF=EH=a$​
∴​$S_{△ODE}=\frac {1}{2}OD · EF=\frac {5}{2}a$​
∵​$S_{△ODE}=\frac {1}{2}DE · OH=6-\frac {3}{2}a$​
∴​$\frac {5}{2}a=6-\frac {3}{2}a$​,解得​$a=\frac {3}{2}$​
则存在符合题意的点​$E$​,且点​$E$​的坐标为​$(3$​,​$\frac {3}{2})$​
​$(3)①$​连接​$OO'$​
由平移的性质,得​$OO'//AB.$​
∴射线​$OO'$​的函数表达式为​$y=\frac {1}{2}x(x≥ 0)$​
联立方程组得​$\begin {cases}{y=\frac {1}{2}x}\\{y=\frac {12}x}\end {cases}$​,解得​$\begin {cases}{x=2\sqrt 6}\\{y=\sqrt 6}\end {cases}$​
∴点​$O'$​的坐标为​$(2\sqrt 6$​,​$\sqrt 6 )$​
由​$(2)$​得点​$D$​的坐标为​$(3$​,​$4)$​
∴点​$D'$​的坐标为​$(3+2\sqrt 6$​,​$4+\sqrt 6)$​
​$②$​点​$O'$​的坐标为​$(2$​,​$1)$​或​$(\sqrt {10}$​,​$ \frac {\sqrt {10}}{2})$​或​$(5$​,​$\frac {5}{2})$​