解：操作二：延长$EM$交$AD$于点$N$
∵四边形$ABCD$和四边形$ECGF $均为矩形，且$B$，$C$，$G $三点在同一条直线上
∴$∠ADC=90°$，$AD//BG$，$EF//BG$
∴$AD//EF$，∴$∠ANM=∠FEM$，$∠NAM=∠EFM$
∵$M$为$AF $的中点，∴$AM=FM$
∴$△AMN≌△FME(\mathrm {AAS})$，∴$MN=ME$，即$M$为$NE$的中点
∴$DM=ME=\frac {1}{2}NE$
拓展延伸：连接$AC$
∵四边形$ABCD$是边长为$5$的正方形
∴$∠ADC=90°$，$AD=CD=5$，$∠ACD=∠CAD=45°$
∵四边形$ECGF $是边长为$2\sqrt {2}$的正方形，点$F $在边$CD$上
∴$CE=EF=2 \sqrt {2}$，$∠CEF=90°$，$∠ECD=45°$
∴点$E$在$AC$上，∴$∠AEF=180°-∠CEF=90°$
在$ Rt△CEF $中，由勾股定理，得$CF= \sqrt {CE^2+EF²}=4$，∴$DF=CD-CF=1$
在$Rt△ADF $中，由勾股定理，得$ AF =\sqrt {AD²+DF^2}= \sqrt {26}$
∵$M$为$AF $的中点，∴$DM=ME=AM=\frac {1}{2}\ \mathrm {AF}=\frac {\sqrt {26}}{2}$
∴$∠DAM=∠ADM$，$∠EAM=∠AEM$
∴$∠DMF=∠DAM+∠ADM=2∠DAM$，$∠EMF=∠AEM+∠EAM=2∠EAM$
∴$∠DME=∠DMF+∠EMF=2(∠DAM+∠EAM)=2∠CAD=90°$
∴$S_{△DME}=\frac {1}{2}DM · ME=\frac {13}{4}$
则$△DME$的面积为$\frac {13}{4}$
