第32页 - 亮点给力提优课时作业本八年级数学江苏版

解：$(1)$由题意得$AD=BC=CD=AB=6$，$∠ABC=∠ADC=90°$，$∠CAD=45°$

由折叠的性质得$CE=CD=6$，$EF=DF$，$∠CEF=∠ADC=90°$

又$∠CEF=∠CAD+∠AFE$

∴$∠AFE=90°-∠CAD=45°$，即$∠AFE=∠CAD$

∴$AE=EF$，即$ AE=DF$

在$Rt△ACD$中，由勾股定理，得$ AC =\sqrt {AD²+CD²}=6 \sqrt {2}$

∴$AE=AC-CE=6\sqrt {2}-6$，即$DF=6\sqrt {2}-6$

$(2)OG//CF$，理由如下：连接$DE$交$CF $于点$H$

由折叠的性质，得$CF $垂直平分$DE$

∴$DH=EH$，即$H$是$DE$的中点

∵$M$为$OD$的中点

∴$MH $是$△ODE $的中位线，即$MH//OE$，∴$QG//CF$

$(3)AE+BQ $的值存在最小值

在$BC$上取一点$ P$，使$CP=2$，连接$EP$，$AP$

∵$CQ=2$，∴$CP=CQ$

由$(1)(2)$得$CE=CD=BC=AB=6$，$∠ABC=90°$

∵$∠ECP=∠BCQ$，∴$△CEP≌△CBQ(\mathrm {SAS})$

∴$EP=BQ.$∴$AE+BQ=AE+EP≥AP$，

即当点$E$在线段$AP $上时，$AE+BQ $的值最小，且最小值为线段$AP $的长

∵在$Rt△ABP $中，$BP=BC-CP=4$

由勾股定理，得$AP= \sqrt {AB²+BP^2}=2 \sqrt {13}$

∴$AE+BQ $的最小值为$2 \sqrt {13}$

解：$(1)$∵四边形$OABC$是矩形，且$OA=6$，$OC= 10$

∴$AB=OC=10$，$BC=OA=6$，点$A$的坐标为$(6$，$0)$，点$B$的坐标为$(6$，$10)$

由题意，把$B(6$，$10)$代入$y=\frac {k}{x}$中，得$10=\frac {k}{6}$，解得$k=60$

∴反比例函数的表达式为$y=\frac {60}{x}(x＞0)$

设点$P $到$x$轴的距离为$d$，则$S_{△PAO}=\frac {1}{2}OA · d=3d$

∵$S_{矩形OABC}=OA · OC=60$，且$S_{△PAO}=\frac {1}{5}S _{矩形OABC}$

∴$3d=\frac {1}{5}×60$，解得$d=4$

在$y=\frac {60}{x}$中，令$y=4$，得$4=\frac {60}{x}$，解得$x=15$

∴点$P $的坐标为$(15$，$4)$

$(2)$由$(1)$，得点$P $到$x$轴的距离为$4$，且点$P $在$x$轴上方

∴点$P $在直线$y=4$上运动

设点$O$关于直线$y=4$的对称点为点$O'$，则点$O'$的坐标为$(0$，$8)$

∴$OO'=8$

连接$O'A$

当$P $为$O'A$与直线$y=4$的交点时，$PO+PA $的值最小，且最小值即为线段$O'A$的长

在$Rt△AOO$中，$OA=6$，$∠AOO'=90°$

由勾股定理，得$O'A= \sqrt {OA²+OO'^2}=10$

∴$PO+PA $的最小值为$10$

$(3)$点$Q $的坐标为$(14$，$-6)$，$(-2$，$-6)$，$(6+2 \sqrt {21}$，$14)$，$(6-2 \sqrt {21}$，$14)$