解：$(1)①$∵四边形$ABCD$是菱形，∴$AC⊥ BD$，即$∠DMC=90°$
∵四边形$CDEF $是正方形，∴$DF⊥CE$，$ND=NC$，即$∠DNC=90°$
∵$∠DMC+∠DNC=180°$，∴四边形$DMCN$是$“$直等补$”$四边形$ $
$②$过点$N$分别作$NQ⊥CM$于点$Q$，$NP⊥MD$，交$MD$的延长线于点$P$
则$∠NQC=∠NQM=∠NPD=90°$
由$(1)①$得$∠PMQ=∠DNC=90°$，$ND=NC$，∴四边形$MPNQ $是矩形
∴$∠PNQ=90°$，即$∠DNP +∠DNQ=90°$
∵$∠CNQ+∠DNQ=90°$，∴$∠DNP=∠CNQ$
∴$△NPD≌△NQC(\mathrm {AAS})$，∴$S_{△NPD}=S_{△NQC}$，$NP=NQ$
∴矩形$MPNQ $是正方形
∴$S_{四边形DMCN}=S _{正方形MPNQ}=\frac {1}{2}MN²=\frac {1}{2}×(\sqrt {2})²=1$
$(2)△PEC$周长的最小值为$ \sqrt {65}+3$
