解：$(2)②$由$(2)①$，得$k=18$，点$E$的坐标为$(3$，$6)$，∴$y=\frac {18}x$
∵点$F(2$，$n)$在双曲线$y=\frac {18}{x}$上，∴$n=\frac {18}{2}=9$，即点$F $的坐标为$(2$，$9)$
过点$E$作$EM⊥x$轴于点$M$，过点$F $作$FN⊥x$轴于点$N$
则$EM=6$，$FN=9$，$MN=1$
∵$S_{△EOF}=S_{△FON}+S_{梯形FEMN} -S_{△EOM}=S_{梯形FEMN}$
∴$S_{△EOF}=\frac {1}{2}(EM+FN) · MN=\frac {15}{2}$
$(3)①$∵点$P(x$，$y)$是第一象限内的$“$美好点$”$
∴$2(x+y)=xy$，化简，得$y=\frac {2x}{x-2}=\frac {4}{x-2}+2$
∵第一象限内的点的横、纵坐标都为正数
∴$\begin {cases}{x＞0}\\{\frac {2x}{x-2}＞0}\\{ x-2≠0}\end {cases}$，解得$x＞2$
∴$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac {4}{x-2}+2(x＞2)$
②如图所示
④是定值
∵$y=\frac {4}{x-2}+2$
∴$(2-x)(y-2)=(2-x)(\frac {4}{x-2}+2-2)=-4$
∴对于图像上任意一点$(x$，$y)$，代数式$(2-x)(y-2)$是定值，且定值为$-4$
