解：$(1)$∵四边形$ABCD$是矩形，$AB=5$，$AD= 4$
∴$CD=AB=5$，$BC=AD=4$，$∠C=∠D=90°$
由折叠的性质，得$OP=OB$，$AP=AB=5$
在$Rt△ADP $中，由勾股定理，得$DP=\sqrt {AP²-AD²}=3$
∴$CP=CD-DP=2$
设$OC=x$，则$OP=OB=BC-OC=4-x$
在$Rt△OCP $中，由勾股定理，得$OC²+CP²=OP²$
∴$x²+2²=(4-x)²$，解得$x=\frac {3}{2}$
则$OC$的长为$\frac {3}{2} $
$(2)EF $的长不发生变化
过点$M$作$MH//AB$，交$ BP $于点$ H$
则$∠HMF=∠N$，$∠MHF=∠NBF$，$∠MHP=∠ABP$
由$(1)$得$AP=AB$，$∠C=90°$，$BC=4$，$CP=2$
∴$∠APB ∠ABP$，∴$∠APB =∠MHP$，∴$HM=PM$
∵$BN=PM$，∴$HM = BN$
∴$△MHF≌△NBF(\mathrm {ASA})$，∴$HF=BF$，∴$HF=\frac {1}{2}BH$
∵$ME⊥BP$，∴$EH=PE=\frac {1}{2}PH$
∴$EF=EH+HF=\frac {1}{2}(PH+BH)=\frac {1}{2}BP$
在$Rt△BCP $中，由勾股定理，得$ BP =\sqrt {BC²+CP^2}=2 \sqrt {5}$，∴$EF= \sqrt {5}$
则$EF $的长不变，为$\sqrt {5}$
