$解：(1)如图所示：点E即为所求.$
$(2)4个.理由如下：$
$连接AP，BP.$
$∵△ABP为直角三角形，$
$∴∠APB=90°，$
$∴∠DPA+∠CPB=90°.$
$∵∠DAP+APD=90°，$
$∴∠DAP=CPB.$
$又∵∠D=∠C，$
$∴△DPA∽△BCP，$
$∴\frac {DP}{AD}=\frac {CB}{PC}.$
$设DP=x，则PC=3-x，则\frac {x}{1}=\frac {1}{3-x}，$
$解得：x=\frac {3±\sqrt{5}}{2}，$
$∴DP=\frac {3±\sqrt{5}}{2}.$
$∵D，C也是A，B的勾股点，点P的位置有两个，$
$∴共有4个勾股点.$
$(3)①如图所示：当t=4时，DP=4，AE=4，PE=AD=4，$
$∵DM=8，AN=5，$
$∴PM=4，EN=1.$
$过点N作NG⊥PM于点G，则PG=EN=1，$
$则tan∠PMN=\frac {NG}{GM}=\frac {4}{4-1}=\frac {4}{3}.$
$当∠NMH_1=90°时，则∠PH_1M+∠H_1MP=∠H_1MP+∠NMP=90°，$
$∴∠PH_1M=∠NMP，$
$∴tan∠PH_1M=\frac {PM}{P{H_1}_1}=tan∠NMP=\frac {4}{3}，$
$∴PH_1=\frac {3}{4}×4=3；$
$当∠MNH_3=90°时，可得H_1M∥H_3N，$
$∴∠NH_3E=∠MH_1P，$
$∴tan∠NH_3E=tan∠PH_1M=\frac {4}{3}，$
$∴\frac {EN}{{H}_3E}=\frac {1}{{H}_3E}=\frac {4}{3}，$
$∴H_3E=\frac {3}{4}，$
$∴PH_3=4-\frac {3}{4}=\frac {13}{4}.$
$当∠PH_2N=90°时，设PH_2=x，则H_2E=4-x，$
$∵∠PMH_2+∠PH_2M=90°，∠PH_2M+∠EH_2N=90°，$
$∴∠PMH_2=∠NH_2E.$
$∵∠MPE=∠PEN=90°，$
$∴△PMH_2∽△EH_2N，$
$∴\frac {P{H}_2}{EN}=\frac {PM}{E{H}_2}，$
$即：\frac {x}{1}=\frac {4}{4-x}，$
$解得：x=2，经检验适合题意，$
$∴PH_2=2.$
$综上：PH为2或3或\frac {13}{4}.$
$②由①可知，当t=4时，MN=5，PH_2=2，$
$∴H_2是PE的中点，$
$设以MN为直径的圆O，则OH_2是梯形PMNE的中位线，$
$∴OH_2=\frac {1}{2}(PM+EN)=\frac {1}{2}×(1+4)=2.5=\frac {1}{2}MN，且OH_2⊥PE，$
$∴圆O与PE相切，$
$∴PE与圆O只有一个交点，$
$结合当M，N为直角顶点时，得到两个直角三角形，$
$∴此时共有3个勾股点.$
$当0≤t＜4时，PE与圆O相离，PE与圆O没有交点，$
$此时，只有当M，N为直角顶点时，得到两个直角三角形，$
∴此时有两个勾股点.
$当t=5或t=8时，PE通过N或M点，此时有两个勾股点，$
$当4≤t＜5或5＜t＜8时，直线PE与圆O有两个交点，$
$结合当M，N为直角顶点时，得到两个直角三角形，$
$共有4个勾股点.$
$综上：当0≤t＜4时或t=5或t=8时，有2个勾股点，$
$当t=4时，有3个勾股点，$
$当4＜t＜5时或5＜t＜8时，有4个勾股点，$
$当4＜t＜5时，有4个勾股点，当t=5时，有2个勾股点.$
