$解： (1)设抛物线{C}_1的函数表达式为y= ax²+ bx +c$
由题意得，
$\begin{cases}{0=16a-4b+c}\\{-\dfrac {b}{2a}=-1.5}\\{6=a-b+c} \end{cases}$
$解得a=-1，b=-3，c=4$
$所以抛物线{C}_1的函数表达式为y= -x²- 3x +4$
$(2)抛物线{C}_2的图像如图所示，$
$设抛物线{C}_2的函数表达式为y= dx²+ex+f ，$
$则抛物线{C}_2与x轴交点为(4 ， 0) ，对称轴所在直线为x = 1.5， $
$且抛物线过点(1.-6)。$
由题意得,
$\begin{cases}{16d+4e+f=0 }\\{-\dfrac {c}{2d}=1.5}\\{d+e+f=-6} \end{cases}$
$所以d=1，e=-3，f=-4$
$抛物线{C}_2的函数表达式为y=x²-3x-4$
$(3)由题意得，-x²-3x+4=x²-3x-4，$
$解得，x=±2$
$所以点A横坐标为-2 ，点B横坐标为2 $
$设点P的横坐标为t ，则点P坐标为(t，-t² - 3t +4)$
$因为PQ//y轴,点P的横坐标为t ，$
$所以点Q的横坐标也为t$
$因为点Q在抛物线{C}_2上,$
$所以点Q_{坐标} 为(t，t²- 3t- 4)$
$所以PQ=(-t²-3t+4)- (t²- 3t-4)=-2t²+ 8$
$因为点P{位于} 点A和点B之间, $
所以t的取值范围为- 2＜t＜2.
所以当t= 0时, PQ取最大值,最大值为8
