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2或10

$(1)$证明：∵$AC=BC$，∴$△ACB$是等腰三角形$ $

∵$D$是$AB$的中点，∴$DB=\frac {1}{2}AB$，$CD⊥DB$

∵$CE=\frac {1}{2}AB$，∴$DB=CE$

∵$CE//AB$，∴四边形$CDBE$是平行四边形$ $

又∵$CD⊥DB$，∴四边形$CDBE$是矩形

$(2)$解：在$Rt△CDB$中，$∠CDB=90°$，$CB=AC=5$，$CD=3$

∴$BD=\sqrt {BC²-CD²}=4$

∵$DF⊥BC$，∴$DF · BC=CD · BD$，解得$DF=\frac {12}{5}$

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$∠A=∠C$，$∠D=∠B$，$AD=BC$，$AB=CD$

∵$E$、$F $分别为$AB$、$CD$的中点，∴$AE=EB=CF=FD$

∵$AG=CH$，∴$BH=DG$

∴$△AGE≌△CHF(\mathrm {SAS})$，$△BEH≌△DFG(\mathrm {SAS})$

∴$EH=GF$，$EG=HF$

∴四边形$EHFG $是平行四边形

$(2)$连接$EF$

∵四边形$ABCD$是平行四边形，∴$AB=CD$，$AB//CD$

∵$E$、$F $分别为$AB$、$CD$的中点

∴$AE=\frac {1}{2}AB$，$DF=\frac {1}{2}CD$

∴$AE=DF$

∵$AB//CD$，∴四边形$AEFD$是平行四边形

∴$EF=AD$

∵$GH=AD$，∴$EF=GH$

又∵四边形$EHFG $是平行四边形

∴四边形$EHFG $是矩形

证明：$(1)$∵$CE$平分$∠ACB$，∴$∠ACE=∠ECB$

∵$MN//BC$，∴$∠ECB=∠OEC$

∴$∠ACE=∠OEC$，∴$OE=OC$

同理可得$OC=OF$

∴$OE=OF$

解：$(2)$∵$CE$、$CF $分别平分$∠ACB$，$∠ACD$，

又$∠ACB+∠ACD=180°$

∴$∠ECF=∠ACE+∠ACF=\frac {1}{2}(∠ACB+∠ACD)$

$=\frac {1}{2}×180°=90°$

∴$EF= \sqrt {CE^2+CF^2}=\sqrt {12^2+9^2}=15$

由$(1)$可知$OE=OF=OC$

∴$OC=\frac {1}{2}EF=\frac {15}{2}$

$(3)$当点$O$运动到$AC$边的中点时，四边形$AECF $是矩形

理由：当$O$为$AC$边的中点时，$OA=OC$

∵$OE=OF$，∴四边形$AECF $是平行四边形

由$(2)$知$∠ECF=90°$

∴平行四边形$AECF $是矩形

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