第59页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

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EF=CF-AE或EF=AE-CF

证明：$(1)$延长$BA$到点$G$，使$AG=CF$，连接$DG$

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$DA=DC$，$∠DAB=∠DCF=90°$

∴$∠DAG=90°$，∴$△DAG≌△DCF$

∴$∠GDA=∠FDC$，$DG=DF$

∵$∠ADC=90°$，$∠EDF=45°$

∴$∠EDG=∠ADG+∠ADE=∠FDC+∠ADE=45°$

在$△DEG $和$△DEF{中}$

$\begin {cases}{DE=DE}\\{∠EDG=∠EDF}\\{DG=DF}\end {cases}$

∴$△DEG≌△DEF(\mathrm {SAS})$

∴$EF=EG=AE+AG=AE+CF$

解：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形，∴$∠ABC=90°$

∵$△ABP≌△CBQ$，∴$∠ABP=∠CBQ$

∴$∠PBQ=∠ABC=90°$

∵$PB=BQ=2$，∴$PQ= \sqrt {PB^2+BQ^2}=2\sqrt 2$

$(2)$由旋转得$QC=PA=1$

在$△QPC$中，$(2\sqrt {2})^2+1^2=3^2$，即${PQ}^2+{QC}^2={PC}^2$

∴$△QPC$为直角三角形，$∠PQC=90°$

∵$△PBQ $是等腰直角三角形

∴$∠PQB=45°$

∴$∠PQC+∠PQB=∠BQC=∠APB=135°$