解：$(1)$四边形$BE'FE$是正方形
理由如下：
∵将$ Rt△ABE$绕点$ B $按顺时针方向旋转$ 90°$得到$△CBE'$
∴$∠AEB=∠CE'B=90°$，$BE=BE'$，$∠EBE'=90°$
∵$∠BEF=90°$，∴四边形$BE'FE$是正方形
$(2)CF=FE'$
证明如下：如图①，过点$D$作$DH⊥AE$于点$H$
∵$DA=DE$，$DH⊥AE$，∴$AH=\frac {1}{2}AE$，$∠ADH+∠DAH=90°$
∵四边形$ABCD$是正方形，∴$AD=AB$，$∠DAB=90°$
∴$∠DAH+∠EAB=90°$，∴$∠ADH=∠EAB$
∵$AD=AB$，$∠AHD=∠AEB=90°$，∴$△ADH≌△BAE(\mathrm {AAS})$
∴$AH=HE=BE=\frac {1}{2}AE$
∵四边形$BE'FE$是正方形，∴$BE=E'F$，∴$E'F=AH=\frac {1}{2}AE$
∵将$ Rt△ABE$绕点$B$按顺时针方向旋转$90°$得到$△CBE'$
∴$AE=CE'$，∴$E'F=\frac {1}{2}CE'$，∴$CF=FE'$
$(3)$作$DG⊥AE$于点$G$，如图②
由$(2)$可知，$Rt△AEB≌Rt△DGA $
由将$ Rt△ABE$绕点$B $按顺时针方向旋转$ 90°$得$ Rt△CBE'$可知：$Rt△AEB≌Rt△CE'B$
∴$Rt△AEB≌Rt△DGA ≌Rt△CE'B$
∴$DG=AE=CE'$
∵$S_{△ADE}=72= \frac {1}{2}\ \mathrm {DG}·AE$
设$AE=x$，则$DG= \frac {144}{x}$
∴由$AE=DG$，得$x= \frac {144}{x}$，解得$x=12$
∴$DG=AE=CE'=12$
在$Rt△CBE'$中，$ BE'=\sqrt {BC^2-CE'^2}= \sqrt {15^2-12^2}=9$
∵四边形$BE'FE$是正方形，∴$BE=E'F=9$
∴$CF=CE'-E'F=12-9=3$
