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解：$(1)$由题意，得$BQ=DP=t$，则$AP=CQ=6-t$

∵四边形$ABCD$是矩形，∴$∠B=90°$，$AD//BC$

∴当$BQ=AP $时，四边形$ABQP $为矩形

∴$t=6-t$，解得$t=3$

故当$t=3$时，四边形$ABQP $为矩形

$(2)$由$(1)$可知，四边形$AQCP $为平行四边形

∴当$AQ=CQ $时，四边形$AQCP $为菱形

在$Rt△ABQ_{中}$，$AQ=\sqrt {AB^2+BQ^2}= \sqrt {3^2+t^2}$

∴$ \sqrt {3^2+t^2}=6-t$，$ $解得$t=\frac {9}{4}$

故当$t=\frac {9}{4}$时，四边形$AQCP $为菱形

$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是正方形

∴$AB=BC=CD=AD$，$∠CAD=∠ACD=45°$

∵$CP⊥CF$，∴$∠FCP=90°=∠BCD$

∴$∠BCF=∠DCP$

∵$CD=CB$，$∠CBF=∠CDP=90°$

∴$△CDP≌△CBF(\mathrm {ASA})$，∴$BF=DP$

$(2)$解：∵$CF $平分$∠ACB$

∴$∠ACF=∠BCF=22.5°$，∴$∠BFC=67.5°$

∵$△CDP≌△CBF$

∴$∠P=∠BFC=67.5°$，且$∠CAP=45°$

∴$∠ACP=∠P=67.5°$，$AP=AC= \sqrt {2}AB=4\sqrt {2}$

∴$S_{△ACP}=\frac {1}{2}AP×CD=8\sqrt 2$

$(3)$证明：在$CN$上截取$NH=FN$，连接$BH$，如图

∵$△CDP≌△CBF$，∴$CP=CF$

∵$FN=NH$，且$BN⊥FH$，∴$BH=BF$，$∠BNF=90°$

∴$∠BFH=∠BHF=67.5°$

∴$∠FBN=∠HBN=∠BCH=22.5°$

∴$∠HBC=∠BAM=45°$

又∵$AB=BC$，∴$△AMB≌△BHC(\mathrm {ASA})$

∴$CH=BM$，∴$CF=BM+2FN$

∴$CP=BM+2FN$

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