解：$(2)$由$(1)$可得$∠ABM=60°$
∴$∠CBM=∠ABC-∠ABM=90°-60°=30°$
在正方形$ABCD$中，$AB=BC$，$∠A=∠C=90°$
由折叠知$AB=BM$，$∠PMB=∠A=90°$
∴$BC=BM$，$∠BMQ=∠C=90°$
在$Rt△BMQ $和$Rt△BCQ $中
$\begin {cases}{BC=BM}\\{BQ=BQ}\end {cases}$
∴$Rt△BMQ≌Rt△BCQ(\mathrm {HL})$
∴$∠MBQ=∠CBQ$
∴$∠MBQ=\frac {1}{2}∠CBM=\frac {1}{2}×30°=15°$
∴$∠MBQ $的度数为$15°$
$(3)$当点$Q $在点$F $的下方时，如图
∵在正方形$ABCD$中，$AD=CD=4$
∴$DQ=QF+DF=1+\frac {1}{2}CD=1+2=3$，∴$CQ=CD-DQ=4-3=1$
由$(2)$知$Rt△BMQ≌Rt△BCQ(\mathrm {HL})$，∴$MQ=CQ=1$
设$AP=x$，由折叠知$MP=AP=x$，∴$PQ=MP+MQ=x+1$，$PD=AD-AP=4-x$
在$Rt△PDQ $中，$PD²+DQ²=PQ²$
∴$(4-x)²+3²=(x+1)²$，解得$x=\frac {12}{5}$，即$AP=\frac {12}{5}$
$ $当点$Q $在点$F $的上方时，则$DQ=DF-QF=\frac {1}{2}CD-1=2-1=1$
∴$CQ=CD-DQ=4-1=3$，∴$MQ=CQ=3$
$ $设$AP=MP=x$，则$PD=AD-AP=4-x$，$PQ=MP+MQ=x+3$
在$Rt△PDQ $中，$PD²+DQ²=PQ²$
∴$(4-x)²+1²=(x+3)²$，解得$x=\frac {4}{7}$，即$AP=\frac {4}{7} $
综上，$AP $的长为$\frac {12}{5}$或$\frac {4}{7}$
