第69页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$\frac {5}{3}≤CF≤3$

解：$(1)$如图所示

$(2)S_{四边形BC_{1}B_{1}C}=40$

$(3)E(6$，$6)$

$(1)$证明：∵$AB//CD$，∴$∠CAB=∠DCA$

∵$AC$为$∠DAB$的平分线，∴$∠CAB=∠DAC$

∴$∠DCA=∠DAC$，∴$CD=AD$

∵$AB=AD$，∴$AB=CD$

∵$AB//CD$，∴四边形$ABCD$是平行四边形

∵$AD=AB$，∴平行四边形$ABCD$是菱形

$(2)$解：∵四边形$ABCD$是菱形，对角线$AC$，$BD$交于点$O$

∴$AC⊥BD$，$OA=OC=\frac {1}{2}AC$，$OB=OD=\frac {1}{2}BD$

∴$OB=\frac {1}{2}BD=3$

在$Rt△AOB$中，$∠AOB=90°$

∴$OA= \sqrt {AB²-OB²}= \sqrt {5²-3²}=4$

∵$CE⊥AB$，∴$∠AEC=90°$

在$Rt△AEC$中，$∠AEC=90°$，$O$为$AC$的中点

∴$OE=\frac {1}{2}AC=OA=4$

$(1)$证明：由旋转的性质，得$DM=DE$，$∠MDE=2α$

∵$∠C=α$，∴$∠DEC=∠MDE-∠C=α$

∴$∠C=∠DEC$，∴$DE=DC$，∴$DM=DC$，即$D$是$MC$的中点

$(2)$解：如图，延长$FE$到点$H$使$FE=EH$，连接$CH$，$AH$，$AF$

∵$DF=DC$，∴$DE$是$△FCH$的中位线

∴$DE//CH$，$CH=2DE$

由旋转的性质得$DM=DE$，$∠MDE=2α$，∴$∠FCH=2α$

∵$∠B=∠ACD=α$，∴$∠ACH=α$，$△ABC$是等腰三角形

∴$∠B=∠ACH$，$AB=AC$

设$DM=DE=m$，$CD=n$，则$CH=2m$，$CM=m+n$，$DF=CD=n$

∴$FM=DF-DM=n-m$

∵$AM⊥BC$，∴$BM=CM=m+n$

∴$BF=BM-FM=m+n-(n-m)=2m$，∴$CH=BF$

$ $在$△ABF $和$△ACH$中

$\begin {cases}{ AB=AC}\\{∠B=∠ACH}\\{BF=CH}\end {cases}$

∴$△ABF≌△ACH(\mathrm {SAS})$

∴$AF=AH$

∵$FE=EH$，∴$AE⊥FH$，即$∠AEF=90°$