解：$(1)$正方体物块的棱长$a=10\ \mathrm {cm}=0.1\ \mathrm {m}，$露出水面的高度$h=5\ \mathrm {cm}=0.05\ \mathrm {m}，$物块受到水的浮力$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}=ρ_{水}gSh=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×(0.1\ \mathrm {m})^2×(0.1\ \mathrm {m}−0.05\ \mathrm {m})=5\ \mathrm {N}$
$(2)$物块漂浮，受到的浮力等于其自身的重力，即$F_{浮}=G，$根据$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}{和}G=mg=ρ_{物}gV{得}，$$ρ_{水}gV_{排}=ρ_{物}gV，$则物块的密度$ρ_{物}=\frac {ρ_{水}V_{排}}{V}=\frac {ρ_{水}a^2h}{a^3}=\frac {ρ_{水}}{2}=\frac 12×1×10^3\ \mathrm {kg/m}^3=0.5×10^3\ \mathrm {kg/m}^3 $
$(3)$物块浸没在水中受到的浮力$F_{浮}'=ρ_{水}gV_{排}'= ρ_{水}gV=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×(0.1\ \mathrm {m})^3=10\ \mathrm {N}；$需要施加的最小压力$F=F_{浮}'−G=10\ \mathrm {N}−5\ \mathrm {N}=5\ \mathrm {N}$
