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$解：设a=3x$

$在Rt△ABC中，∵tan A=\frac {a}b=\frac 34，a=3x$

$∴b=4x$

$∴c=\sqrt {a^2+b^2}=5x$

$∵c=5\sqrt {13}$

$∴5x=5\sqrt {13}$

$解得x=\sqrt {13}$

$∴a=3x=3\sqrt {13}，b=4x=4\sqrt {13}$

$解：在Rt△ACD中，∵∠A=α，CD=h$

$∴tan α=\frac {CD}{AD}$

$∴AD=\frac {CD}{tan α}=\frac {h}{tan α}$

$同理可得BD=\frac {CD}{tan β}=\frac {h}{tan β}$

$∴AB=AD+BD=\frac {h}{tan α}+\frac h{tan β}$

解：分两种情况

$①当△ABC为锐角三角形时$

$在Rt△ACH中，∵AC=AB，CH=\frac 35AB$

$∴AH=\sqrt {AC^2-CH^2}=\frac 45AB$

$∴BH=AB-AH=\frac 15AB$

$在Rt△BCH中，∵CH=\frac 35AB，BH=\frac 15AB$

$∴tan B=\frac {CH}{BH}=3$

$②当△ABC为钝角三角形时$

$同理，AH=\frac 45AB$

$∴BH=AB+AH=\frac 95AB$

$在Rt△BCH中，∵CH=\frac 35AB，BH=\frac 95AB$

$∴tan B=\frac {CH}{BH}=\frac 13$

$综上所述，tan B的值为3或\frac 13$

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