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$解：作 Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=45°$

$延长CB到点D，使得BD=AB，得∠D=22.5°$

$设AC=x，则AB=BD=\sqrt 2x，BC=AC=x$

$∴tan 22.5°=tanD=\frac {AC}{CD}=\frac x{(1+\sqrt 2)x}=\sqrt 2-1$

$解：延长BP交OM于点C$

$在Rt△PAC中，∵PA=3，∠C=30°$

$∴PC=2PA=6，AC=\sqrt 3PA=3\sqrt 3$

$∵PB=12$

$∴BC=18$

$在Rt△BCO中，∵∠PBO=90°，∠C=30°，BC=18$

$∴OC=\frac {BC}{cos 30°}=12\sqrt 3$

$∴OA=OC-AC=9\sqrt 3$

$∴OP=\sqrt {OA^2+PA^2}=6\sqrt 7\ \mathrm {cm}$