$解：(1) 当y=0时，-x^2+2x+3=0$
$解得x_{1}=-1，x_{2}=3$
$∵点A在点B的左侧$
$∴点A、B的坐标分别为(-1，0)、(3，0)$
$当x=0时，y=3$
$∴点C的坐标为(0，3)$
$设直线AC相应的函数表达式为y=k_{1}x+b_{1}(k_{1}≠0)$
$由A、C两点的坐标，可求得直线AC相应的函数表达式为y= 3x+3$
$∵y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$
$∴顶点D的坐标为(1，4) $
$(2) 图像上有三个这样的点Q$
$如图，①当点Q 在点Q 1位置时，点Q 1的纵坐标为3，$
$代入二次函数表达式，可得点Q_{1} 的坐标为(2，3)；$
$②当点Q 在点Q_{2}位置时，点Q 2的纵坐标为-3，$
$代入二次函数表达式，可得点Q 2的坐标为(1+ \sqrt{7}，-3)；$
$③当点Q 在点Q_{3} 位置时，点Q_{3} 的纵坐标为-3，$
$代入二次函数表达式，可得点Q_{3} 的坐标为(1-\sqrt 7，-3)$
$∴满足题意的点Q 有：(2，3)、(1+ \sqrt{7}，-3)、(1 -\sqrt{7}，-3) $
