$解：(1)∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2$
$∴AB=BC=2，∠BAC= \frac 12∠DAB$
$又∵∠DAB=60°$
$∴∠BAC=∠BCA=30°$
$如图①，连接BD交AC于点O$
$∵四边形ABCD是菱形$
$∴AC⊥BD，OA=\frac {1}{2}\ \mathrm {AC}$
$∴OB=\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}=1$
$∴OA=\sqrt 3，AC=2OA=2\sqrt{3}$
$运动ts 后，AP=\sqrt{3}\ \mathrm {t}，AQ=t$
$∴\frac {AP}{AQ}=\frac {AC}{AB}=\sqrt 3$
$又∵∠PAQ=∠CAB$
$∴△PAQ∽△CAB$
$∴∠APQ=∠ACB$
$(2)如图②，\odot P 与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC$
$在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°$
$∴PM=\frac {1}{2}\ \mathrm {PC}=\sqrt{3} - \frac {\sqrt{3}}{2}\ \mathrm {t}$
$由PM=PQ=AQ=t，即\sqrt 3- \frac {\sqrt{3}}{2}\ \mathrm {t}=t$
$解得t=4 \sqrt{3} -6$
$此时\odot P 与边BC有一个公共点$
$如图③，OP 过点B，此时PQ=PB$
$∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°$
$∴△PQB为等边三角形$
$∴QB=PQ=AQ=t$
$∴t=1$
$∴当4 \sqrt{3} -6\lt ≤1时，\odot P 与边BC有两个公共点$
$如图④，⊙P 过点C，此时PC=PQ，即2 \sqrt{3} - \sqrt{3}\ \mathrm {t}=t$
$∴t=3-\sqrt{3} $
$∴当1\lt t≤3-\sqrt{3} 时，\odot P 与边BC有一个公共点$
$当点P 运动到点C，即t=2时，点Q 、点B重合，\odot P 过点B，此时\odot P 与边BC有一个公共点$
$综上所述，当t=4 \sqrt{3} -6或1\lt t\lt 3-\sqrt{3} 或t=2时，\odot P 与菱形ABCD的边BC有一个公共点；$
$当4 \sqrt{3} -6\lt t≤1时，\odot P 与边BC有两个公共点$
