$(1)证明：∵四边形ABCD是正方形$
$∴∠B=90°，AD//BC$
$∴∠PAF=∠AEB$
$∵PF⊥AE $
$∴∠AFP=∠B=90°$
$∵∠PAF=∠AEB$
$∴△PFA∽△ABE$
$(2)解：存在$
$∵点E是BC的中点 $
$∴BE=\frac 12BC=2$
$∵四边形ABCD是正方形 $
$∴∠B=90°$
$∴AE=\sqrt {4^2+2^2}=2\sqrt 5$
$①当△FPE∽△BAE时，∠EPF=∠EAB$
$∵△PFA∽△ABE $
$∴∠APF=∠EAB$
$∴∠APF=∠EPF$
$∵PF⊥AE $
$∴PF垂直平分AE$
$∴AF=\frac 12AE$
$∵△PFA∽△ABE$
$∴\frac {AP}{EA}=\frac {AF}{EB}，即\frac {x}{2\sqrt 5}=\frac {\sqrt 5}2$
$∴x=5$
$②当△FEP∽△BAE时，∠PEF=∠EAB$
$∴AB//EP$
$∵点E是BC的中点$
$∴点P是AD的中点$
$∴x=\frac 12×4=2$
$综上所述，x的值为5或2$
