第33页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

$证明：∵DF//BE $

$∴∠DFE=∠BEA$

$ ∴∠AFD=∠CEB$

$ 在△AFD和△CEB中$

$ \begin{cases}AF=CE\\∠AFD=∠CEB\\DF=BE\end{cases}$

$ ∴△AFD≌△CEB(\mathrm {SAS})$

$ ∴AD=BC，∠DAF=∠BCE$

$ ∴AD//BC$

$ ∴四边形ABCD是平行四边形$

$证明：∵四边形ABCD是平行四边形$

$ ∴CD=AB，AD=BC，∠A=∠C$

$ ∵DH=BF$

$ ∴AD-DH=BC-BF，即AH=CF$

$ 在△AEH和△CGF 中$

$ \begin{cases}AE=CG\\∠A=∠C\\AH=CF\end{cases}$

$ ∴△AEH≌△CGF(\mathrm {SAS})$

$ ∴HE=GF$

$ 同理可得EF=HG$

$ ∴四边形EFGH是平行四边形$

$ ∴EG与FH互相平分$

解：如图所示，作等腰直角三角形底边上的中线$ C D ，$ 将$ \triangle A B C $分成

两个全等的等腰直角三角形，翻折其中一个三角形使$ D C $与$ CD$重合，

就可得到一个含有$ 45° $角的平行四边形

∵$CD$为等腰直角三角形的斜边上中线

∴$CD=AD=BC，$$AC=BC$

∴$A'D=BC，$$A'C=BD$

∴四边形$A'DBC$是平行四边形

其中$∠B=45°$

$解：连接 A C 、 B D ，过点 B 、 D 分别作 A C 的平行线，过点 A 、 C $

$分别作 B D 的平行线，它们围成的四边形 E F G H 是平行四边形，$

$ 且面积是四边形 A B C D 面积的 2 倍，如图所示$

证明：过点$ B_1 $作$ B_1 \mathrm E / / B C ，$ 交$ C C_1 $于点$ E ，$ 连接$ D E $

∵$CC_1//BB_1，$$BC//B_1E$

∴四边形$B_1BCE$为平行四边形

∴$BB_1=CE，$$BC=B_1E=AD，$$B_1E//BC//AD$

∴$AD=B_1E，$$∠DD_1A=∠EC_1B_1，$$∠D_1AD=∠C_1B_1E$

∴$△ADD_1≌△B_1EC_1(\mathrm {AAS})$

∴$DD_1=C_1E$

∴$CC_1=C_1E+CE=DD_1+BB_1$