第45页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

$解：∵四边形ABCD是正方形$

$ ∴AB=BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°$

$ ∵CE⊥DF $

$∴∠CFG+∠FCG=∠DCG+∠FCG=90°$

$∴∠CFG=∠DCG$

$又∵BC=CD，∠B=∠DCF=90°$

$∴△CEB≌△DFC(\mathrm {AAS}) $

$ ∴CE=DF$

正方形

$\frac 12a^2$

证明：过点$ E $作$ E G \perp A B ，$ 垂足为$ G$

∵$E D \perp B C，$$ E F \perp A C ，$$ E $是两锐角平分线的交点

∴$E F=E G=E D$

∵$A C \perp B C，$$ E D \perp B C，$$ E F \perp A C$

∴四边形$ C D E F $为矩形

又 ∵$E F=E D$

∴矩形$ C D E F $为正方形

解：连接$EF、$$FG、$$GH、$$HE$

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$AB= BC= CD= DA，$$∠A=∠B=∠C= ∠D= 90°$

∵$AE=BF=CG=DH$

∴$AH=BE=CF=DG$

∴$△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG$

∴$EH = FE= GF= HG，$$∠DGH = ∠CFG$

∵$∠CGF=∠CFG = 90°$

∴$∠DGH +∠CGF= 90°$

∴$∠HGF= 90°$

∴四边形$EFGH$是正方形

∴$EG = FH，$$EG⊥FH$

证明：连接$BP$

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$∠B=90°，$$BC=CD$

∵$PE⊥AB，$$PF⊥BC$

∴四边形$PEBF $是矩形

∴$PB=EF($矩形对角线相等)

在$△PCB$和$△PCD$中

$ \begin{cases}CD=CB\\∠DCP=∠BCP\\PC=PC\end{cases}$

∴$△PCB≌△PCD(\mathrm {SAS})$

∴$PB=PD$

∴$PD=PB=EF.$

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