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第128页

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$证明：(1)因为AB∥CD，AD∥BC$

$所以四边形ABCD是平行四边形$

$所以∠B+∠BCD=180°$

$因为∠B=∠BCD$

$所以B=90°$

$所以四边形ABCD是矩形$

$(2)延长BA，CM交于点E$

$因为M为AD的中点，N为AB的中点$

$所以AN=BN=1，AM=MD$

$所以AB=CD=2$

$因为AE∥DC$

$所以∠E=∠DCM$

$在△AEM和△DCM中。$

$\begin {cases}{∠E=∠MCD }\\{∠AME=∠DMC} \\{AM=DM} \end {cases}$

$所以△AEM≌△DCM(\mathrm {AAS}).$

$所以AE=CD=2$

$因为∠BNC=2∠DCM=∠E+∠NCE$

$所以∠NCE=∠DCM=∠E$

$所以CN=EN=AE+AN=2+1=3$

$所以BC²=CN²-BN²=3²-1²=8$

$证明： (1)因为四边形ABCD是正方形$

$所以AD=CD， ∠A=∠ADC=∠BCD=90°$

$所以∠ADP+∠PDC=90°$

$因为∠PDC+∠CDQ=90°$

$所以∠ADP=∠CDQ$

$在△ADP 和△CDQ 中$

$\begin {cases}{∠ADP=∠CDQ }\\{AD=CD} \\{∠A=∠DCQ} \end {cases}$

$所以△ADP≌△CDQ(\mathrm {ASA})$

$所以DP=DQ$

$(2)猜想PE=QE$

$因为DE平分∠PDQ$

$所以∠PDE=∠EDQ=45°$

$在△PDE和△QDE中$

$\begin {cases}{PD=QD }\\{∠PDE=∠QDE} \\{DE=DE} \end {cases}$

$所以△PDE≌△QDE(\mathrm {SAS})$

$所以PE=QE$

$(3)因为AB： AP=3：4， AB=6$

$所以AP=8，BP=2$

$由(1)可知AP=CQ$

$所以设CE=a，EQ=8-a$

$由(2)可知PE=EQ$

$所以PE=8-a$

$在直角三角形BPE中$

$BP²+ BE²= PE²$

$所以2²+(6+a)²=(8- a)²$

$所以a=\frac {6}{7}$

$EQ=\frac {50}{7}$

$所以S_{△DEP} =\frac {1}{2}\ \mathrm {EQ}×CD=\frac {150}{7}$