$解：记\begin{cases}{5x-a＞3(x-1)①}\\ {2x-1\leqslant 7②}\end{cases}$
$解不等式①，得x＞\frac{a-3}{2}$
$解不等式②，得x\leqslant 4$
$所以不等式组的解集为\frac{a-3}{2}＜x\leqslant 4$
$因为该不等式组的所有整数解的和为7，$
$所以当\frac{a-3}{2}\geqslant 0时，它的整数解一定是x=3，4，$
$此时2\leqslant \frac{a-3}{2}＜3，解得7\leqslant a＜9$
$当\frac{a-3}{2}＜0时，它的整数解一定是x=-2，-1，0，1，2，3，4，$
$此时-3\leqslant\frac{a-3}{2}＜-2，解得-3\leqslant a＜-1$
$所以a的取值范围是7\leqslant a＜9或-3\leqslant a＜-1$
