$解：记\begin{cases}{x+3b\geqslant 2a①}\\ {\frac{2}{3}a+x\leqslant 2b②}\end{cases}$
$解不等式①，得x\geqslant 2a-3b$
$解不等式②，得x\leqslant 2b-\frac{2}{3}a$
$所以不等式组的解集是2a-3b\leqslant x\leqslant 2b-\frac{2}{3}a$
$因为该不等式组的解集是-5\leqslant x\leqslant 2$
$所以\begin{cases}{2a-3b=-5}\\ {2b-\frac{2}{3}a=2}\end{cases}，解得\begin{cases}{a=-2}\\ {b=\frac{1}{3}}\end{cases}$
