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$解：(1)由3x+4y=1，得4y=1-3x，所以y=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}x$

$(2)根据题意，得\frac{1}{4}-\frac{3}{4}x＞1，解得x＜-1$

$(3)联立方程组\begin{cases}{3x+4y=1}\\ {3x-4y=m}\end{cases}$

$解得\begin{cases}{x=\frac{1+m}{6}}\\ {y=\frac{1-m}{8}}\end{cases}$

$根据题意，得\begin{cases}{\frac{1+m}{6}＞\frac{1}{2}}\\ {\frac{1-m}{8}\geqslant -\frac{3}{4}}\end{cases}$

$解得2＜m\leqslant 7$

$解：(1)选择活动一需付款450×0.8=360(元)$

$选择活动二需付款450-80=370(元)$

$因为360\lt 370$

$所以选择活动一更合算$

$(2)设一件这种健身器材的原价为x元$

$当x\lt 300时，活动一按原价打八折，活动二按原价，$

$此时付款金额不可能相等$

$∴300\leqslant x\lt 500$

$根据题意，得0.8x=x-80$

$解得x=400$

$答：一件这种健身器材的原价为400元。$

$(3)300\leqslant a\lt 400或600\leqslant a\lt 800$