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$解：∵{2}^{a}×{27}^{b}×{37}^{c}×{47}^{d}={2}^{a}×{3}^{3b}×{37}^{c}×{47}^{d}，1998=2×3^3×37$

$∴{2}^{a}×{3}^{3b}×{37}^{c}×{47}^{d}=2×3^3×37$

$∴a=1，b=1，c=1，d=0$

$∴原式={(1-1-1+0)}^{203}=-1$

$解：3^{101}×7^{102}×13^{103}=3^{100}×3×7^{102}×13^{102}×13=(3^4)^{25}×3×(7×13)^{102}×13=81^{25}×91^{102}×39$

$∵ 81^{25}、91^{102}的个位数字均为1$

$∴ 81^{25}×91^{102}×39的个位数字为9$

$∴ 3^{101}×7^{102}×13^{103}的个位数字为9$

$解：∵P=\frac{77^7}{7^{77}}=\frac{(7×11)^7}{7^{7+70}}=\frac{7^7×11^7}{7^7×7^{10}}=\frac{11^7}{7^{70}}，Q=\frac{11^7}{7^{70}}$

$∴P=Q$

$ \begin{aligned}解:原式&=(2×1)²+(2×2)²+...+(2×25)² \\ &=2²×(1²+2²+...+25²) \\ &=4×\frac{1}{6}×25×(25+1)×(2×25+1) \\ &=22100 \\ \end{aligned}$

$解：(1)原式={(-2)}^{5}+{(-2)}^{6}=-32+64=32$

$(2)原式=2×{(-2)}^{220}+{(-2)}^{221}={2}^{221}-{2}^{221}=0$

$(3)证明：∵2{M}_{(n)}+{M}_{(n+1)}$

$=2×{(-2)}^{n}+{(-2)}^{n+1}$

$=2×{(-2)}^{n}-2×{(-2)}^{n}$

$=(2-2)×{(-2)}^{n}$

$=0$

$∴2M_{(n)}与M_{(n+1)}互为相反数$