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$证明：∵AF= BE$

$∴AE=BF$

$∵四边形ABCD是矩形$

$∴∠A=∠B=90°$

$∴AD= BC$

$∴△DAE≌△CBF$

$∴DE=CF$

$证明：∵四边形ABCD为矩形$

$∴AB=CD，∠ABC=∠DCM$

$∵M为BC的中点$

$∴BM=CM$

$∴△ABM≌△DCM$

$∴AM=DM$

$又∵MA⊥MD$

$∴∠MAD=45°$

$则有∠BAM=45°$

$∴AB= BM，即AD=2AB$

解：$(1)△AEF $是等边三角形

根据折叠的性质可得出$∠BAE =∠B'AE，$

∵矩形ABCD对折的折痕为MN，△ABE折叠后得到△AB'E

∴$EB' = B'F，$$∠AB'E=∠ABE=90°$

∴$AB'$垂直平分$EF$

∴$AE=AF$

∴$∠BAE =∠B'AE=∠B'AF$

∴这三个角都是$30°$

∴$∠EAF=60°$

∵$AF=AE$

∴$△AEF $是等边三角形

$(2) $不能，如正方形

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