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$解：(1)过点D作DE⊥AB，过点B作BF⊥AD，垂足分别为E、F，如图所示$

$由题意得，AD//BC，AB//CD，DE=BF$

$∴四边形ABCD是平行四边形$

$∵S_{▱ABCD}=AB·DE=AD·BF$

$又∵DE=BF$

$∴AB=AD$

$∴四边形ABCD是菱形$

$(2)如图所示$

$解：(1)∵ 四边形ABCD是菱形$

$∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD$

$DA=OC，OB=OD，∠DAO=∠BAO$

$在△AOD中，∠AOD=90°$

$∵E是AD的中点$

$∴OE是Rt△AOD斜边上的$中线

$∴AE=DE=OE$

$∴∠DAO =∠EOA$

$∴∠BAO=∠EOA$

$∴OE//AB$

$又∵OG//EF$

$∴四边形OEFG是平行四边形$

$∵∠EFG=90°$

$∴四边形OEFG是矩形$

$(2)易知OE=AD=5，AF=3，BG=10-3-5=2$

$(1)证明：∵△ABE是等边三角形$

$∴BA=BE，∠ABE=60°$

$∵∠MBN=60°$

$∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，即∠BMA=∠NBE$

$又∵MB=NB$

$∴△AMB≌△ENB(\mathrm {SAS})$

$(2)解：①当点M落在BD的中点时，AM+CM的值最小$

$②如图，连接CE，当点M位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小$

$证明：连接MN$

$由(1)知，△AMB≌△ENB$

$∴AM=EN$

$∵∠MBN=60°，MB=NB$

$∴△BMN是等边三角形$

$∴BM=MN$

$∴AM+BM+CM=EN+MN+CM$

$根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短$

$∴当点M位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长$

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