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第135页

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$证明：∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴AD//BC，AB=CD$

$∴∠GBC=∠BGA$

$又∵BG平分∠ABC$

$∴∠ABG=∠GBC$

$∴∠ABG=∠AGB$

$∴AB=AG$

$同理DE=CD$

$∴AG=DG$

$∴.AG-EG=DE-EG，即AE=DG$

$证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，$

$AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°$

$∵AB=2BC$

$∴EN=BC$

$∴△FNE≌△ECB$

$∴FN=EC$

$解：如图，四边形AECF是菱形$

$∴AB=AC，AM平分∠CAD$

$∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM$

$∵∠CAD是△ABC的外角$

$∴∠CAD=∠B+∠ACB$

$∴∠CAD=2∠ACB$

$∴∠CAM=∠ACB$

$∴AF//CE$

$∵EF垂直平分AC$

$∴OA=OC，∠AOF=∠COF=90°$

$∴△AOF≌△COE$

$∴AF=CE.在四边形AECF中，AF//CE，AF=CE$

$∴四边形AECF是平行四边形$

$又∵EF⊥AC$

$∴四边形AECF是菱形$

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