解：$(1)$把$C(-4，$$0)$代入$y=kx+2，$得$k=\frac 12，$∴$y=\frac 12x+2$
把$A(2，$$n)$代入$y=\frac 12x+2，$得$n=3，$∴$A(2，$$3)$
把$A(2，$$3)$代入$y=\frac {m}x，$得$m=6$
$(2)$在$y=kx+2$中，当$x=0$时，$y=2，$∴$B(0，$$2)$
∵$P(a，$$0)$为$x$轴上的动点，∴$P C=|a+4|$
∴$S_{△CBP}=\frac 12\ \mathrm {P} C· OB=\frac 12×|a+4|×2=|a+4|，$
$S_{△CAP}=\frac 12\ \mathrm {P} C· y_{A}=\frac 12×|a+4|×3$
∵$S_{△CAP}=S_{△ABP}+S_{△CBP}$
∴$\frac 32|a+4|=\frac 72+|a+4|$
∴$a=3$或$a=-11$
