解：$(1)$将点$A(-3，$$a)、$$B(a+\frac 32，$$-2)$代入$y_{1}=\frac k{x}$
可得$k=-3a=-2(a+\frac 32)，$解得$a=3$
∴$A(-3，$$3)、$$B(\frac 92，$$-2)$
∴$k=-3a=-9，$∴$y_{1}=-\frac 9{x}$
将点$A(-3，$$3)、$$B(\frac 92，$$-2)$代入$y_{2}=mx+n$
可得$\begin {cases}{-3m+n=3}\\{\frac 92m+n=-2}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{m=-\frac 23}\\{n=1}\end {cases}$
∴$y_{2}=-\frac 23x+1$
$(2)$由图像可得，自变量$x$的取值范围为$-3＜x＜0$或$x＞\frac 92$
$(3)$设$AB$与$y$轴相交于点$C，$则$C(0，$$1)$
∴$S_{△AOB}=S_{△BOC}+S_{△AOC}=\frac 12OC· (x_{B}-x_{A})=\frac 12×1×(\frac 92+3)=\frac {15}{4}$
