第118页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$-12\sqrt {3}$

解：$(1)$∵$BM=OM=2，$∴点$B$的坐标为$(-2，$$-2)$

∵反比例函数$y=\frac {k}x(k≠0)$的图像经过点$B$

则$-2=\frac {k}{-2}，$解得$k=4$

∴反比例函数的表达式为$y=\frac 4x$

∵点$A$的纵坐标是$4$

∴$4=\frac 4x，$解得$x=1$

∴点$A$的坐标为$(1，$$4)$

∵一次函数$y=mx+n(m≠0)$的图像过点$A(1，$$4)，$$B(-2，$$-2)$

∴$\begin {cases}{m+n=4}\\{ -2m+n=-2}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{m=2}\\{n=2}\end {cases}$

∴一次函数的表达式为$y=2x+2$

$(2)$∵$y=2x+2$与$y$轴交于点$C，$∴点$C$的坐标为$(0，$$2)$

∵点$B(-2，$$-2)，$$BM⊥x$轴

∴$M(-2，$$0)，$$MB//OC，$∴$OC=MB=2$

∴四边形$MBOC$是平行四边形

∴$S_{四边形MBOC}=OM· OC=4$

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解：$(1)①$把$A(2，$$4)$代入$y_{2}=mx，$得$4=2m，$∴$m=2$

把$A(2，$$4)$代入$y_{1}=\frac {k}x(k＞0)$

得$4=\frac {k}2，$∴$k=8$

$ $故$m=2，$$k=8$

②如图①，延长$DA$交$y$轴于点$K$

∵反比例函数$y=\frac 8x$的图像过点$D，$点$D$的横坐标为$4$

∴$D(4，$$2)$

设直线$AD$的函数表达式为$y=ax+b$

则$\begin {cases}{2a+b=4}\\{4a+b=2}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{a=-1}\\{b=6}\end {cases}$

∴直线$AD$的函数表达式为$y=-x+6$

∴$K(0，$$6)，$∴$OK=6$

∴$S_{△AOD}=S∆DOK-S_{△AOK}=\frac 12×6×4-\frac 12×6×2=6$

故$∆AOD$的面积为$6$

$(2)$如图$②，$由题意，得$A(s，$$ms)，$$D(t，$$nt)$

∵反比例函数$y_{1}=\frac {k}x(k＞0)$的图像经过点$A，$$D$

∴$k=ms^2=nt^2①$

∵四边形$ABCD$为矩形

∴$AC=BD，$∴$OA=OD$

∴$s^2+\mathrm {m^2}=t^2+n^2t^2②$

由①②联立，得$(1+\mathrm {m^2})\frac {n}mt^2=(1+n^2)t^2$

∵$t≠0，$∴$(1+\mathrm {m^2})n=(1+n^2)m$

∴$(m-n)(mn-1)=0$

∵$m≠n，$∴$1-mn=0，$即$mn=1$