$解:(1)设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨.$
$由题意，得\begin{cases}{2x+y=10,\ }\\{x+2y=11}\end{cases}$
$解得x=3, y=4.$
$答:1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货3吨、4吨$
$(2)由题意和(1),得3a+4b=31,a=\frac{31−46}{3},$
$∵a,b均为正整数，$
$∴a=9,b=1或a=5,b=4或a=1,b=7.$
$∴共有三种租车方案，方案一:租A型车9辆，B型车1辆;$
$方案二:租A型车5辆，B型车4辆;$
$方案三:租A型车1辆，B型车7辆$
$(3)方案一的租金为9×100+1×150=1050(元);$
$方案二的租金为5×100+4×150=1100(元);$
$方案三的租金为1×100+7×150=1150(元).$
$∵1050＜1100＜1150,$
$∴最省钱的租车方案为方案一，最少租车费用为1050元$
