第182页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

解：$(1)$设$a=4，$$b=5，$$c=6$

∴$p=\frac {a+b+c}2=\frac {15}{2}$

∴$S=\sqrt {\frac {15}{2}×(\frac {15}{2}-4)×(\frac {15}{2}-2)×(\frac {15}{2}-6)}=\sqrt {\frac {15}{2}×\frac {7}{2}×\frac {5}{2}×\frac {3}{2}}=\frac {15\sqrt 7}4$

即$△ABC$的面积是$\frac {15\sqrt 7}4$

$(2)$如图，过点$I_{作}IF⊥AB，$$IG⊥AC，$$IH⊥BC，$垂足分别为$F、$$G、$$H，$

连接$IC$

∵$AD、$$BE$分别为$△ABC$的角平分线

∴$IF=IH=IG$

∵$S_{△ABC}=S_{△ABI}+S_{△ACI}+S_{△BCI}$

即$\frac {15\sqrt 7}4=\frac 12×6IF+\frac 12×5IG+\frac 12×4IH$

∴$3IF+\frac 52IG+2IH=\frac {15\sqrt 7}4$

∴$\frac {15}{2}IF=\frac {15\sqrt 7}2$

解得$IF=\frac {\sqrt 7}2$

故点$I $到$AB$的距离为$\frac {\sqrt 7}2$

$9+2\sqrt {3}$

$15+2\sqrt {3}$

解：$(2)S_{n+1}-S_{n}=6n-3+2\sqrt 3$

证明：$S_{n+1}-S_{n}=(1+\sqrt 3n)^2-[1+(n-1)\sqrt 3]^2$

$=[2+(2n-1)\sqrt 3]×\sqrt 3$

$=3(2n-1)+2\sqrt 3$

$=6n-3+2\sqrt 3$

$(3)$当$a=1，$$b=3$时，$T=t_{1}+t_{2}+t_{3}+···+t_{50}$

$=S_{2}-S_{1}+S_{3}-S_{2}+S_{4}-S_{3}\ \mathrm {···}+S_{51}-S_{50}$

$=S_{51}-S_{1}$

$=(1+50\sqrt 3)^2-1$

$=7500+100\sqrt 3$