第15页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

直角

长方形

平行

互相平分且相等

直角

中心

轴

B

D

6

45

解：∵四边形$ABCD$是矩形，∴$∠A=∠D=90°$

∵$EF⊥CE，$∴$∠FEC=90°$

∴$∠AEF+∠DEC=90°$

又∵$∠ECD+∠DEC=90°$

∴$∠AEF=∠ECD$

$ $在$∆AEF $和$∆DCE$中

$\begin {cases}{∠F AE=∠EDC}\\{∠AEF=∠DCE}\\{EF=CE}\end {cases}$

∴$∆AEF≌∆DCE(\mathrm {AAS})$

∴$AE=CD$

∵矩形$ABCD$的周长为$32\ \mathrm {cm}$

∴$2(AE+ED+DC)=32，$即$2(2AE+4)=32$

$ $解得$AE=6，$即$AE$的长为$6\ \mathrm {cm}$

$(1)$证明：在矩形$ABCD$中，$∠D=90°，$$DC//AB$

∴$∠BAN=∠AMD$

∵$BN⊥AM，$∴$∠BNA=90°$

$ $在$△ABN$和$∆MAD$中

$\begin {cases}{∠BAN=∠AMD}\\{∠BNA=∠ADM}\\{AB=MA}\end {cases}$

∴$∆ABN≌∆MAD(\mathrm {AAS})$

∴$AN=DM$

$(2)$解：∵$∆ABN≌∆MAD，$∴$BN=AD$

∵$AD=3，$∴$BN=3$

|∵$BN⊥AM，$$AN=4$

∴$AB= \sqrt {AN^2+BN^2}= \sqrt {4^2+3^2}=5$

∴$S_{矩形ABCD}=A· AB=3×5=15$