解：$(1)$四边形$EFGH$是平行四边形，理由如下：
∵$E，$$H$分别是$AB，$$AD$的中点
∴$EH//BD，$$EH=\frac 12BD$
同理$FG//BD，$$FG=\frac 12BD$
∴$EH//FG，$$EH=FG$
∴四边形$EFGH$是平行四边形
$(2)$四边形$EFGH$是菱形，理由如下：
∵$E，$$F，$$G，$$H$分别是边$AB，$$BC，$$CD，$$DA$的中点
在$∆ADC$中，$HG $为$∆ADC$的中位线
∴$HG=\frac 12\ \mathrm {A}C$
同理$EF=\frac 12\ \mathrm {A}C，$$EH=\frac 12BD，$$FG=\frac 12BD $
又$AC=BD$
∴$EF=EH=FG=HG$
∴四边形$EFGH$为菱形
