解：$(1)$设反比例函数的表达式为$y=\frac {k}x$
∵当$x=4$时，$y=-1，$∴$k=-1×4=-4$
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac 4x$
$(2)$当$-3≤x≤-\frac 12$时，$y$随$x$的增大而增大
当$x=-3$时，$y=\frac 43；$当$x=-\frac 12$时，$y=8$
∴当$-3≤x≤-\frac 12$时，$y$的取值范围是$\frac 43≤y≤8$
$(3)$∵$k=-4$
∴在图像的每一个分支上，$y$随$x$的增大而增大
又∵当$x=1$时，$y=-4$
∴当$x＞1$时，$y$的取值范围是$-4＜y＜0$
