$(1)$证明：设$A(×1，$$y_{1})、$$B(×2，$$y_{2})$
代入$y=\frac {k}x$中，得$×1· y_{1}=×2· y_{2}=k$
∴$S∆AOM=\frac 12×1· y_{1}=\frac {k}2，$$S∆BON=\frac 12×2· y_{2}=\frac {k}2$
∴$S∆AOM=S∆BON$
$(2)$解：由题意知$m=n=\frac {k}2$
∴$A(2，$$\frac {k}2)，$$B(\frac {k}2，$$2)$
过点$A$作$AE⊥x$轴于点$E，$过点$B$作$BF⊥x$轴于点$F$
∵$S_{△AOB}+S_{△BOF}=S_{梯形AEF B}+S_{△AOE}，$$S_{△BOF}=S_{△AOE}$
∴$S_{△AOB}=S_{梯形AEF B}=\frac 12· (2+\frac {k}2)· (\frac {k}2-2)=16$
解得$k=12$或$k=-12($不合题意，舍去)
∴$k=12$
