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$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$∠ABC+∠BCD=180°$

又∵$BE，$$CF $分别是$∠ABC$和$∠BCD$的平分线

∴$∠OBC+∠OCB=\frac 12(∠ABC+BCD)=90°$

∴$∠BOC=90°，$∴$BE⊥CF$

$(2)$解：$AF=DE，$理由如下：

∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AB=CD，$$AD//BC$

∴$∠AEB=∠EBC$

又∵$BE$平分$∠ABC$

∴$∠ABE=∠EBC，$∴$∠ABE=∠AEB$

∴$AB=AE$

$ $同理可得$CD=DF$

又∵$AB=CD$

∴$AE=DF$

∴$AF=DE$

$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AB//CD，$$AD=BC，$∴$∠ABC+∠BCD=180°$

∵$BF，$$CG $分别平分$∠ABC$和$∠BCD$

∴$∠1=\frac 12∠ABC，$$∠4=\frac 12∠BCD$

∴$∠1+∠4=\frac 12(∠ABC+∠BCD)=\frac 12×180°=90°$

∴$∠2+∠3=90°$

∵$PE=BE$

∴$∠1=∠2，$∴$∠3=∠4$

∴$PE=CE，$∴$BE=CE，$即$E$是$BC$的中点

$(2)$解：∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AD//BC$

∴$∠1=∠AF B$

∵$BF $平分$∠ABC，$∴$∠ABF=∠1$

∴$∠ABF=∠AF B，$∴$AB=AF$

$ $又$AB=4，$∴$AF=4$

$ $同理$DG=CD=AB=4$

∵$PE=3，$$BE=PE=CE$

∴$BE=CE=3$

∴$AD=BC=BE+CE=6$

∴$GF=AF+DG-AD=4+4-6=2$

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