第2页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AD//BC，$$AD=BC，$∴$∠DAC=∠BCA$

∵$DE//BF，$∴$∠DEF=∠BFE，$∴$∠AED=∠CF B$

在$∆ADE$和$∆CBF $中

$\begin {cases}{∠DAE=∠BCF}\\{∠AED=∠CF B}\\{AD=CB}\end {cases}$

∴$∆ADE≌∆CBF(\mathrm {AAS})，$∴$AE=CF$

$(2)$∵$∆ADE≌∆CBF，$∴$DE=F B$

又∵$DE//BF$

∴四边形$DEBF $为平行四边形

∴$DF//EB，$∴$∠DFE=∠BEF$

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AD=BC，$$AD//BC，$∴$∠DAE=∠BCF$

在$∆ADE$与$∆CBF $中

$\begin {cases}{∠1=∠2}\\{∠DAE=∠BCF}\\{AD=CB}\end {cases}$

∴$∆ADE≌△CBF(\mathrm {AAS})$

∴$AE=CF$

$(2)$∵$∠1=∠2$

∴$∠DEF=∠BFE，$∴$DE//BF$

$ $由$(1)$知$∆ADE≌∆CBF$

∴$DE=BF$

∴四边形$EBF D$是平行四边形

证明：∵$AC⊥BE，$$AC⊥DF$

∴$∠BEO=∠DFO=90°$

$ $在$∆BEO$与$∆DFO$中

$\begin {cases}{∠EOB=∠FOD}\\{∠BEO=∠DFO}\\{BE=DF}\end {cases}$

∴$∆BEO≌∆DFO(\mathrm {AAS})$

∴$EO=FO，$$BO=DO$

又∵$AF=CE$

∴$AF-FO=CE-EO，$∴$AO=CO$

又∵$BO=DO$

∴四边形$ABCD$是平行四边形