第12页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

解：∵在四边形$ABCD$中，$M，$$N，$$P $分别是$AD，$$BC，$$BD $的中点

∴$PN，$$PM$分别是$∆CDB$与$∆DAB$的中位线

∴$PM=\frac 12\ \mathrm {A}B，$$PN=\frac 12DC，$$PM//AB，$$PN//DC$

∴$∠MP D=∠ABD=40°，$$∠BPN=∠BDC=70°$

∴$∠DPN=180°-∠BPN=110°$

∵$AB=CD，$∴$PM=PN$

∴$∆PMN$是等腰三角形，∴$∠PMN=∠PNM$

∵$∠MPN=∠MP D+∠NP D=20°+110°=130°$

∴$∠PMN=\frac {180°-130°}2=25°$

证明：连接$BD，$取$BD$的中点$O，$连接$FO，$$MO$

∵$F $是$AD$的中点，$M$为$BC$的中点

∴$MO$是$∆BCD$的中位线，$FO$是$∆ABD$的中位线

∴$MO=\frac 12CD，$$FO=\frac 12\ \mathrm {A}B，$$MO//AC，$$OF//AB$

∵$AB=CD，$∴$MO=FO，$∴$∠OFM=∠OMF$

∵$OF//AB，$∴$∠OFM=∠AEF$

∵$OM//AC，$∴$∠OMF=∠CFM=∠AFE$

∴$∠AEF=∠AFE，$∴$AE=AF$

∵$G $为$EF $的中点，∴$AG⊥ME$