证明：$(1)$如图$①，$取$AD$的中点$G，$连接$EG，$$FG$
∵$E，$$F $分别为$AB，$$CD$的中点
∴$EG，$$FG $分别是$∆ABD$与$∆ACD$的中位线
∴$EG=\frac 12BD，$$FG=\frac 12\ \mathrm {A}C$
∴$EG+FG=\frac 12(BD+AC)$
$ $在$∆EFG $中，∵$EF＜EG+FG，$∴$EF＜\frac 12(AC+BD)$
$(2)$如图$②，$取$AC$的中点$H，$连接$EH，$$FH$
∵$E，$$F $分别为$AB，$$CD$的中点
∴$EH，$$FH$分别是$∆ACB$与$∆ACD$的中位线
∴$FH=\frac 12\ \mathrm {A}D，$$EH=\frac 12BC$
∴$FH+EH=\frac 12(AD+BC)$
∵$EH+FH＞EF，$∴$EF＜\frac 12(AD+BC)$
