解：$(1)$当$x＞0$时，$M-N≥0，$理由如下：
$M-N=\frac {x+1}2-\frac {2x}{x+1}=\frac {(x-1)^2}{2(x+1)}$
∵$x＞0，$∴$(x-1)^2≥0，$$2(x+1)＞0$
∴$\frac {(x-1)^2}{2(x+1)}≥0$
∴$M-N≥0$
$(2)$依题意，得$y=\frac 4{x+1}+\frac {2x}{x+1}=\frac {2x+4}{x+1}$
$①$当$y=3$时，即$\frac {2x+4}{x+1}=3，$解得$x=1$
经检验，$x=1$是原方程的解
∴当$y=3$时，$x$的值为$1$
$②y=\frac {2x+4}{x+1}=\frac {2x+2+2}{x+1}=2+\frac 2{x+1}$
∵$x，$$y$是整数，∴$\frac 2{x+1}$是整数
∴$x+1$可以取$±1，$$±2$
当$x+1=1，$即$x=0$时，$y=4＞0，$符合题意；
当$x+1=-1，$即$x=-2$时，$y=0，$不符合题意，舍去；
当$x+1=2，$即$x=1$时，$y=3＞0，$符合题意；
当$x+1=-2，$即$x=-3$时，$y=1＞0，$符合题意
综上，当$x$是整数时，$y$的正整数值为$4$或$3$或$1$
