解：$(2)x^2+16x-1=x^2+2x×8+8^2-8^2-1=(x+8)^2-65$
无论$x$取何值，$(x+8)^2$总是非负数，即$(x+8)^2≥0$
∴$(x+8)^2-65≥-65$
∴$x^2+16x-1$的最小值为$-65$
$(3)$由题意得$S_{1}=(2a+3)(3a+5)=6a^2+19a+15$
$S_{2}=5a(a+3)=5a^2+15a$
∴$S_{1}-S_{2}=6a^2+19a+15-5a^2-15a=a^2+4a+15=a^2+2a×2+2^2-2^2+15=(a+2)^2+11$
无论$a$取何值，$(a+2)^2$总是非负数，即$(a+2)^2≥0$
∴$(a+2)^2+11≥11$
∴$S_{1}-S_{2}$的最小值为$11$
∴$S_{1}-S_{2}＞0$
∴$S_{1}＞S_{2}$
